miércoles, 21 de marzo de 2012

 



Excentricidad de una elipse

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
\varepsilon=\frac{c}{a} , con (0\le\varepsilon\le1)
Dado que c = \sqrt{a^2-b^2} , también vale la relación:
\varepsilon=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}
    =\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}
o el sistema:
\begin{cases}
\varepsilon=\frac{c}{a}\\
c = \sqrt{a^2-b^2} \end{cases}
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.3 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamadaépsilon.
(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).

Excentricidad angular de una elipse

La excentricidad angular \alpha es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad \varepsilon, esto es:
\alpha=\sin^{-1}(\varepsilon)=\cos^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)=2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right);\,\!

Constante de la elipse

Ellipse Animation Small.gif
En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.
Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

Directrices de la elipse

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.
Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:
\varepsilon=\frac{\overline{\text{PF}}}{\overline{\text{PD}}}
La relación entre estas dos distancias es la excentricidad \varepsilon de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.

Además de la bien conocida relación \varepsilon=\frac{f}{a}, también es cierto que \varepsilon=\frac{a}{d} , también es útil la fórmula d=\frac{a}{\varepsilon} .
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior.

Ecuaciones de la elipse

En coordenadas cartesianas

Forma cartesiana centrada en origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

En coordenadas polares

Forma polar centrada en origen

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad \scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} ), es:
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad.
Si no se quiere pre-calcular la excentricidad \scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).

Formas polares centradas en un foco

Coord. polares sobre un foco.
En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuación de la elipse es:
(501)r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}
Para el otro foco:
(502)r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1-\varepsilon\cos\theta}
"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.
En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular \varphi, la forma polar es:
(503)r(\theta)=\frac{a (1-\varepsilon^{2})}{1 - \varepsilon \cos(\theta - \varphi)}}
El ángulo \theta de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas a (1-\varepsilon^{2}) es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado l. El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

Formas paramétricas

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) y siendo a el semieje mayor y b el menor, es:
\begin{cases}
x = h+a\cos\alpha\\
y = k+b\sin\alpha \end{cases}
con \alpha\in [0,2\pi)\ .\ \alpha no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse (tampoco es el ángulo del sistema de coordenadas polares con origen en algún foco de la elipse). La relación entre \alpha y θ es
{\rm{tg}} \theta = {b \over a}\ {\rm{tg}} \alpha.
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) en la que el parámetro \theta sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado (h,k) es:
\begin{cases}
x = h+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \cos\theta\\
y = k+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \sin\theta\end{cases}
con \theta\in [0,2\pi). El parámetro \theta es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en (h,k).

Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:
\acute{A} rea=\pi \cdot a \cdot b
Siendo a y b los semiejes.4

Longitud de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:
P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

Propiedades notables

La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.

La elipse como cónica

La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales se las llamasecciones cónicas o simplemente cónicas.
la elipse como cónica.

La elipse como hipotrocoide

La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz.
En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.
La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.

Construcción paramétrica de una elipse

Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros equivalen a la medida de los ejes ortogonales de la futura elipse. Si trazamos segmentos palalelos a los ejes principales Xe Y, partiendo del extremo de los radios alineados, la intersección de dichos segmentos son puntos de la elipse.
Parametric ellipse.gif

Anamorfosis de una circunferencia en una elipse

Determinada trasformación de la circunferencia (al deformar ortogonalmente el plano cartesiano asociado a ella), se denomina anamorfosis. Se corresponde con una perspectiva especial. El término anamorfosis proviene del idioma griego y significa trasformar.

Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado.
Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante una anamorfosis, donde el eje Y se ha contraído y el X se ha dilatado.

En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en cuadrados, cuando dicho plano se «deforma» en sentido del eje X, el Y, o ambos, la circunferencia se transforma en una elipse y los cuadrados en rectángulos.

Elipses semejantes

Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferencian sólo en el tamaño (pero no en la forma), de tal manera que multiplicando todas las longitudes por un factor dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de utilidad en Física5 acerca de la intersección de una recta con dos elipses semejantes y concéntricas.

Teorema: Si la intersección de una recta con la corona comprendida entre dos elipses semejantes con el mismo centro y ejes correspondientes colineales consta de dos segmentos, entonces éstos tienen igual longitud.

Explicación: El teorema es cierto, por simetría, en el caso particular en que las elipses dadas sean dos circunferencias concéntricas. Contrayendo o dilatando uniformemente una de las direcciones coordenadas, mediante anamorfosis, podemos transformar cualquier caso en este caso particular, pues todos los segmentos con la misma pendiente cambian su longitud en la misma proporción. Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmentos de la recta tienen la misma longitud, la tenían ya al principio.
No deben confundirse las elipses semejantes con las elipses cofocales.

La elipse en mecánica celeste

Diagrama ilustrando la segunda ley de Kepler, "en tiempos iguales una masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales".
En mecánica celeste clásica, dos masas puntuales sometidas exclusivamente a interacción gravitatoria describen una órbita elíptica (o circular 6 ) la una en torno a la otra cuando la órbita es cerrada. Un observador situado en cualquiera de las masas verá que la otra describe una elipse uno de cuyos focos (o centro) está ocupado por el propio observador. La excentricidad y otros parámetros de la trayectoria dependen, para dos masas dadas, de las posiciones y velocidades relativas. Los planetas y el Sol satisfacen la condición de masas puntuales con gran precisión porque sus dimensiones son mucho más pequeñas que las distancias entre ellos. Lacinemática de la órbita se rige por las leyes de Kepler.
En la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distintos de una órbita elíptica que cumplen la segunda ley de Kepler: "en tiempos iguales una masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales". Cuando el "planeta" está más cerca de la "estrella" va más rápido y cuando está lejos va más despacio, pero de tal manera que su velocidad areolar es la misma en ambos casos. Esto significa que las áreas de los sectores elípticos amarillos son iguales y sus arcos t0 t1 se han recorrido en intervalos de tiempo iguales, Δt = t1 - t0. La "estrella" está situada en P, uno de los focos de la elipse.





Hipérbola


Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Etimología. Hipérbole e hipérbola

Secciones cónicas.
Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado de hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).

[editar]Historia

Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,2 donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Procloy Eratóstenes.3
Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,4 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

[editar]Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas (0, 0) \, y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h, k) \,
\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
Ejemplos:
a)
\frac{(x)^2}{25} - \frac{(y)^2}{9} = 1
b)
\frac{(x)^2}{9} - \frac{(y)^2}{25} = 1
Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos z\,, en el plano Re Im\,; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias |z-w_1|-|z-w_2|\,, a dos puntos fijos llamados focosw_1\, y w_2\,, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea 2l\, ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.
La ecuación queda: |z-w_1|-|z-w_2|=2l\,
Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Ecuaciones en coordenadas polares

Dos hipérbolas y sus asíntotas.
Hipérbola abierta de derecha a izquierda: Hyperbola2.png
r^2 =a\sec 2\theta \,

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

r^2 =-a\sec 2\theta \,
Hipérbola abierta de noreste a suroeste: Giperbola-ravnoboch.png
r^2 =a\csc 2\theta \,
Hipérbola abierta de noroeste a sureste:
r^2 =-a\csc 2\theta \,

Ecuaciones paramétricas

Imagen de sección cónica.
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
\begin{matrix}
 x = a\sec t + h \\
 y = b\tan t + k \\
\end{matrix}
\qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix}
 x = \pm a\cosh t + h \\
 y = b\sinh t + k \\
\end{matrix}
Hipérbola abierta de arriba a abajo:
\begin{matrix}
 x = a\tan t + h \\
 y = b\sec t + k \\
\end{matrix}
\qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix}
 x = a\sinh t + h \\
 y = \pm b\cosh t + k \\
\end{matrix}
En todas las formulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.













 

3 comentarios:

  1. Me suscribo; quiero aprender mucho más <3
    Me conquistó esta entrada.

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  3. ...viaje interestelar aceleración constante (katherine johnson)... y las órbitas elípticas, "10000 cálculos de cosenos...": e, excentricidad >0 y <1 su grado de alargamiento, e= cos B/cos a... elipse, si se define como curva cerrada de la intersección de un plano que corta a una superficie cónica sin pasar por su vértice; a, ángulo de la superficie cónica entre su eje y generatriz; B, ángulo >a y <90º entre el plano y el eje de la superficie cónica.

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